21.08.2010

Mathematisches Modellieren

Im Moment beschäftige ich mich mit dem mathematischen Modellieren. Übrigens mal wieder.
Aus zahlreichen Gründen ist dieses Gebiet sehr spannend. Es geht nicht nur um angewandte Mathematik, sondern auch um den Aufbau von Metakognitionen. So, wie ich die Fachliteratur der Mathematikdidaktik hier verstehe, unterrichten (zukünftige) Mathematiklehrer ihre Schüler nicht nur in Mathematik, sondern auch in den geistigen Prozessen, die dahinter stehen. Damit wird ein Teil des Mathematikunterrichts zum Psychologieunterricht.

Phasen des mathematischen Modellierens

Im Folgenden stelle ich knapp (und äußerst unvollständig) ein Modell (!) des mathematischen Modellierens vor.
1. Zunächst muss ein geeigneter, das heißt mathematisierbarer Ausschnitt aus der realen Welt gewählt werden.
2. Dieser Ausschnitt wird zunächst in ein so genanntes Realmodell umgesetzt. Dieses reale Modell ist nach der Anschauung gewonnen und bildet den Übergang zu dem nächsten Modell.
3. Meist ist dieses Modell kaum von dem Realmodell zu unterscheiden. Der Unterschied liegt oft darin, dass dieses Modell mit Maßen versehen ist. Wenn man zum Beispiel eine Volumenberechnung macht, dann ist das Realmodell eine Skizze dieses Volumens, und wird im dritten Schritt schlichtweg bemaßt.
Deutlicher unterscheidet sich das Realmodell von diesem so genannten mathematisierbaren Modell bei Kurvenberechnungen oder bei der Berechnung von Inhalten von kurvigen Objekten. Ein Beispiel dafür ist die mathematische Berechnung des Inhaltes eines Weizenbierglases. Bei der Modellierung muss eine relativ komplexe Gleichung erstellt werden, und hier werden auf das Realmodell (die "Silhouette" des Weizenbierglases) Scheitelpunkte und Neigungswinkel eingetragen.
Bei komplexen geometrischen Körpern ist es ähnlich. Hier werden zum Beispiel Winkel eingezeichnet, die teilweise aus der Bemaßung erst berechnet werden müssen.
4. Im vierten Schritt findet dann die eigentliche Mathematisierung statt. Aus dem mathematisierbaren Modell werden Formeln und Rechenschritte gewonnen, mit denen eine Lösung erzielt werden kann.
5. Im letzten Schritt wird dann die errechnete Lösung mit der Realität verglichen. Erst in diesem Augenblick wird zum Beispiel das Weizenbierglas mit Wasser gefüllt und dieses dann in einen Messbecher umgeschüttet.
Meist ist die mathematische Modellierung von zeitabhängigen Kurven komplexer als die von statischen, objekthaften Kurven. Das ist dann der nächste Schritt. Nachdem der Schüler neun oder zehn Inhalte von Weizenbiergläsern untersucht hat, kann er die Kurven berechnen, in denen er nach Hause wankt.
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