29.11.2015

Mengen und Modelle

Wenn man sich die Mengenbildung dort anschaut, wo noch Probleme mit dem Erfassen von Mengen vorliegen, stößt man auf einen scheinbar ganz anderen Bereich, der auf ähnlichen Operationen beruht: dem des Modellierens.

Mengenbildung

Eine der Grundlagen des Rechnens besteht in dem Erfassen von Mengen. Dementsprechend gut muss diese Fähigkeit geübt werden. Es mag zwar dem erwachsenen und kompetenten Rechner seltsam erscheinen, aber diese Fähigkeit ist nur zum Teil angeboren. Offensichtlich kann die Aufmerksamkeit vier Elemente gleichzeitig erfassen. Alle Mengen darüber hinaus müssen erlernt werden, etwa, indem eine Menge von neun Elementen in drei mal drei Elemente aufgeteilt wird.
In der Kognitionspsychologie spricht man beim Zusammenfassen von Elementen vom chunking (Bündeln), und das entsprechende Ergebnis nennt sich chunk. In der Mnemotechnik werden diese benutzt, um größere Mengen einzuteilen und auswendig zu lernen. Benennt man die einzelnen chunks, spricht man auch vom Kategorisieren. Das Kategorisieren wiederum ist an das Sammeln und Ordnen gebunden, bzw. an das Erstellen von Mustern.

Formeln

Etwas zu kategorisieren beruht auf einer Abstraktion. Wenn die Abstraktion von jeglichem Merkmal absieht, abgesehen von der Einheit, kommt man zu den Zahlenmengen. Zahlen selbst ordnen diese Mengen nach der Menge ihrer Elemente (tautologischer kann man es leider nicht ausdrücken). Die grundlegenden Rechenoperationen, wie etwa 3 x 3, fassen solche Mengen in einer Art zusammen, dass sie der Aufmerksamkeit weiterhin zugänglich bleiben. Während dabei die Zahlen abstrahierte Elemente sind, stellen die Operationen abstrahierte Handlungen dar. Das Pluszeichen steht zum Beispiel für "lege dazu" oder "füge zusammen".
Schreibt man eine solche einfache Formel aus, kommt man zu einer Proposition. Propositionen, so vermuten die Kognitionspsychologen, sind die Grundlage des Weltbildes. Diese Beobachtung ist deshalb so wichtig, weil man so das Mathematisieren als eine Form der abstrakten Weltbeschreibung postulieren kann.

Modelle

Modelle wiederum stellen Regeln auf, wie man bestimmte Weltausschnitte zueinander systematisieren kann. Typisch dafür sind z.B. die Bedürfnispyramide, das Emotionsmodell von Plutchik oder der Erzählkreis von Stanzel (wobei dieser ziemlich kompliziert ist, da er mehrere Schichten der Abstraktion miteinander kombiniert).
In Modellen gibt es keine vollständige Abstraktion. Sie sind an Merkmale gebunden. Auch die Operationen zwischen ihnen sind konkreter als bei den Rechenoperationen. Trotzdem kann man in gewisser Weise hinter den Modellen die mathematischen Formeln entdecken.
So kann man bei Modellen auf der einen Seite die vollkommene Abstraktion entdecken, die aber inhaltsleer ist, weil sie an keinerlei Merkmale außer der Identität der Elemente mit sich selbst gebunden ist. Demnach können die Elemente aber auch untereinander nicht mehr unterschiedlich sein, abgesehen von ihrer Identität natürlich, so dass die Menge in sich selbst nur noch durch ein formales System geordnet werden kann. Das ist natürlich die Mathematik, bzw. die Mathematik des Zahlenraums.
Und auf der anderen Seite bezöge sich ein Modell auf eine absolute Konkretion, wodurch das Modell mit der Realität zusammenfallen würde. Dementsprechend wäre es sinnlos, überhaupt ein Modell zu erstellen.

Im Zwischenraum

Modelle, die weder vollkommen konkret noch vollkommen abstrakt sind, bilden die Ausgangssituation für das Erfassen von Mengen. Nun muss man wissen, dass Kinder zunächst von sehr abstrakten Einheiten ausgehen und erst nach und nach zu differenzierten Bildern und Vorstellungen kommen. Typisch dafür ist das Erkennen von Gesichtern. Säuglinge reagieren zunächst ganz allgemein auf bestimmte Anordnungen von Element, die Gesichtern ähneln, dann nur noch auf Gesichter von Menschen, schließlich nur noch auf belebte Gesichter und ganz zum Schluss unterscheiden sie zwischen den Gesichtern ihrer Bezugspersonen und fremden Gesichtern (diese letzte Phase nennt man auch Fremdeln, die etwa zwischen dem 6. und 8. Lebensmonat eintritt).
Nun müsste den Kindern eigentlich die Abstraktion in den Zahlenraum leicht fallen, da sie ja aus der Abstraktion kommen. Tatsächlich aber ist unser Gehirn darauf ausgerichtet, konkrete Einheiten zu erschaffen. Das Gehirn ist eine „Konkretisierungsmaschine“. Es wird so weit konkretisiert, wie es nötig ist, um interessante Handlungen auszuführen.

Operationalisieren

Gewöhnlich ist eine Handlung darauf ausgerichtet, etwas Anderes (nicht unbedingt etwas Neues; siehe das Nachahmungsverhalten) herzustellen. Wird eine solche Tätigkeit gedanklich vorweg genommen, hat man es mit einer Operationalisierung zu tun. Die Entwicklung des kindlichen Bewusstseins ist auf solche Operationen, die Anderes anstreben, angelegt. Dies geschieht dann mehr oder weniger abstrakt. Und hier unterscheidet sich die Mathematik (oftmals, durchaus nicht immer) von dem normalen kindlichen Handeln: die Mathematik bevorzugt Systeme, die sich auf sich selbst abbilden.
Damit wird das Operationalisieren zu einem Sonderfall: es erzeugt nichts Neues. Und insofern widerspricht es dem kindlichen (aber eben auch oftmals dem erwachsenen) Denken.

Mathematische Basiskompetenzen

Eigentlich wollte ich … 
Dieser Satz wird wohl zu einem Running Gag. Eigentlich wollte ich für meine Klasse einen Adventskalender herrichten. Das ist passiert. Eigentlich wollte ich für meine Klasse ein Heft für Sonderaufgaben zur Geometrie erstellen. Es ist auf 24 Seiten angelegt, 21 Seiten habe ich bereits. Eigentlich wollte ich das Kapitel über Raum und Fläche zu Ende diskutieren. Stattdessen habe ich von einem Zitat aus zahlreiche Notizen zu Spielen, Origami, und anderen Sachen geschrieben. Na gut, zahlreich ist etwas übertrieben: es sind genau 19.
Auch die mathematischen Basiskompetenzen wollte ich mir eigentlich etwas genauer ansehen. Das ist allerdings nicht passiert.

Basteln

Samstagmorgen war ich unterwegs: an der Storkower Straße befinden sich einige Geschäfte, in denen man günstig alle möglichen Sachen kaufen kann, Schachteln, Papier, Stifte, Kleister, eben all diese Sachen, die in 1 €-Läden angeboten werden. Dort habe ich mich mit Packpapier, Büroklammern, Geodreiecken, und ähnlichem eingedeckt. Dann habe ich mir noch feste Pappe aus dem Supermarkt mitgehen lassen. Heute Nachmittag habe ich dann ein wenig herumgebastelt, aber wie ihr euch sicher vorstellen könnt, nicht allzu viel, weil ich, ich sagte es ja bereits, wenig Zeit hatte. Ich bin noch unzufrieden; ich muss meine handwerklichen Fähigkeiten deutlich verbessern. Man kann aber aus Pappe und buntem Papier schönes, sehr stabiles Material herstellen, mit dem man zahlreiche Aspekte für den Mathematikunterricht, aber auch für den Deutschunterricht abdecken kann. Eventuell komme ich ja diese Woche dazu, ein paar einfachere Materialien konkret werden zu lassen.

Lesen

Nein, zum Lesen bin ich gar nicht mehr gekommen.
Nun gut, ich habe in meinem Zettelkasten rumgestöbert. Mathematik, bzw. Zahlen, Reihen und Mengen, Modelle und Aufmerksamkeit; dazu habe ich meine früheren Notizen gelesen. Was ich eigentlich mache: mich gedanklich an meine neue Klasse anzuschmiegen. Glücklicherweise habe ich bei dieser Klasse, bzw. bei dieser Schule mehr Zeit, mich nachmittags zu Hause hinzusetzen und zu reflektieren. Wenn ich bedenke, dass ich an meiner letzten Schule das Thema Balladen Anfang April abgeschlossen hatte, aber eine gründliche, sachliche Analyse immer noch nicht geleistet habe, eine halbwegs brauchbare erst im Sommer, bin ich im Moment gut dabei.

Neue Schule, neues Glück

Ich mag mir das gar nicht vorstellen: Dienstags zum Beispiel bin ich um 12:30 Uhr mittags zuhause. Da hatte ich an der anderen Schule noch anderthalb Stunden zu tun. Bis ich dann nach Hause gekommen bin, war meist 17:00 Uhr vorbei, nicht selten 18:00 Uhr.
Insofern geht es mir im Moment wesentlich besser. Obwohl ich meine Schüler vermisse: die waren echt großartig. Auch über die Eltern kann ich mich nicht beschweren: ich habe noch nie so viel Unterstützung erfahren, wie damals, an dieser Schule, zumindest durch die Eltern. Zu den Kollegen kann ich zwar auch insgesamt viele gute Sachen berichten, allerdings war das Verhältnis zu einigen (eigentlich nur zu zwei) an meiner alten Schule dermaßen schwierig, dass mir das emotional viel Energie geraubt hat. Dummerweise hängt mir das in meiner neuen Schule immer noch nach. Dabei sind meine drei Kolleginnen, mit denen ich mir den gleichen Flur teile, sehr nett und hilfsbereit.
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