16.11.2015

Mathematisches Modellieren

Mathematik ist ein wunderbares Fach, und gerade die ganz einfache Mathematik, jene, die in der Grundschule gelernt und gelehrt wird, darf durchaus als nicht ganz so einfach, als nicht so geradlinig gesehen werden, wie manche Menschen das glauben.

Modellierungskompetenz

Coaches neigen dazu, alle möglichen neuen Kompetenzen zu erfinden. Ich habe dazu dann eines Tages die Modellierungskompetenz erfunden, nur um zehn Minuten später im Internet zu entdecken, dass es diese bereits längst gibt. Nur natürlich nicht in der Coaching-Literatur, sondern in den naturwissenschaftlichen und mathematischen Didaktiken.
Grob gesagt ist die Modellierung der Vergleich zwischen einem Modell und der Anschauung (nicht der Realität! zu der der Mensch keinen Zugang hat). Der Ausgang dieses Vergleichs muss offen bleiben. Ich habe zwei Phasen der Modellierung postuliert: zunächst gibt uns ein Modell Sicherheit, indem es die verwirrende Vielfalt der Anschauung strukturiert und ordnet; dann aber übernimmt die Erfahrung nach und nach die Führung: dies mündet zu einer Kritik und einer Überwindung des Modells.
Insofern ist die Arbeit mit dem Modell, sofern man sie in ihrer Gesamtheit betrachtet, sehr widersprüchlich. Auf der einen Seite unterwirft sich der Mensch dem Modell und richtet seine Wahrnehmung nach ihm aus, und auf der anderen Seite erhebt er sich darüber und zerschlägt es schließlich.

Metakognition

Um den Umgang mit Modellen zu begreifen, ist das metakognitive Wissen wichtig, insbesondere der Umgang mit den Emotionen. Mathematik als solche mag „gefühllos“ erscheinen; während der Arbeit mit ihr tauchen allerdings zahlreiche Gefühle auf. So habe ich in meinen Kursen zur Fachdidaktik vielfältige Reaktionen erlebt, von der puren Freude, als die Teilnehmer die Abstände zwischen den Null-Tangenten eines Weizenbierglases gemessen haben, um daraus eine Integralgleichung zu entwickeln; ebenso Freude darüber, dass die Teilnehmer, die das ganze durch eine Annäherung über Zylinderscheiben errechnet haben, zu einem ähnlichen Ergebnis gekommen sind. Ich habe aber auch die Wut erlebt, und in einem Falle die Angst, dass man den Anforderungen des Kurses nicht entsprechen würde, wenn man nicht die korrekte Entwicklung einer Anzahl von Speisefischen in einem Teich errechnen könne. Zur Metakognition der Modellierungskompetenz gehört dieser Umgang mit Gefühlen im Verlauf der Modellierung.

Rechnen

Eigentlich ist Rechnen eine Faulheit. Rechnen besteht aus Strategien, das Zählen abzukürzen. Anders gesagt: Hier geht es um die automatische Erfassung von Mustern und von Anordnungen. Neulich habe ich eine Art Intelligenztest mitgemacht, deren eine Übung das gut demonstrieren kann. Mehrere willkürlich verteilte Elemente auf dem Bildschirm wurden von dem Computer in einer beliebig ausgewählten Reihenfolge verbunden. Dies musste dann von dem Benutzer (also von mir) reproduziert werden, und zwar in genau derselben Reihenfolge. Ich habe mir hier ziemlich schnell Strategien zurechtgelegt, die Abfolge dieser Reihenfolge in bestimmte Elemente aufzuteilen. So habe ich für eine Anordnung, bei der der mittlere Punkt unterhalb der beiden äußeren Punkte lag, mir die untere Hälfte eines Kreises imaginiert, und natürlich umgekehrt, wenn der mittlere Punkt oberhalb der beiden äußeren Punkte lag, die obere Hälfte eines Kreises. Es gab Punktabfolgen, die ungefähr einem Z entsprachen, und andere, die ungefähr einem N glichen. Und diese zusammen imaginiert ergaben dann eine recht gute Lösung.
Diese ganze Übung dient der Gruppenbildung und der Erarbeitung von Strategien automatisierten Erinnerns/Erfassens. Tatsächlich kann man sie auch sehr gut auf der Hunderter-Tafel anwenden, einer einfachen Anordnung der Zahlen von 1-100 in einem Feld von 10 × 10 Kästchen.

Sinnlose Muster

Ich neige ja dazu, die grundlegenden Fertigkeiten höheren Denkens als sinnlose Muster zu betrachten, die so automatisiert worden sind, dass sie unterhalb des Bewusstseins ablaufen. Wichtig an diesen Mustern ist, dass sie auf der einen Seite komplett simplifizieren, manch einer würde dies als unerträglich bezeichnen, und auf der anderen Seite eine gewisse vollständige Entsprechung zur Anschauung besitzen. Und um dies etwas konkreter zu machen: der amerikanische Kognitionstrainer Edward deBono gibt verschiedene Muster zur Reflexion vor, unter anderem das Muster PMI. Damit wird eine erlebte Situation in die Kategorien Plus (oder positiv), Minus (oder negativ) und Interessant (oder Offen für Entwicklungen) eingeteilt und dadurch auch analysiert. Diese Einteilung funktioniert eigentlich immer. Hat man sie häufig genug schriftlich angewendet, kann man bei sich beobachten, dass sie schließlich in die Wahrnehmung eindringt und sich, ohne dass man es will, als Gedanken aufdrängt.
Nun könnte man meinen, dass das schlecht ist. Tatsächlich aber ist das Gegenteil der Fall: man kann sich wesentlich genauer darauf beziehen, wie man die Wirklichkeit einteilt, weil man es bewusst gelernt hat, und man kann sich bewusster entscheiden, dann andere solcher Muster anzuwenden.
Irgendwann mal habe ich, für einen Vortrag auf einer Tagung, 60 solcher Methoden entworfen und vorgestellt. SWEN ist eine davon. Sie funktionieren großartig: nicht, weil sie die Wirklichkeit abbilden, sondern weil sie durch ihre Reduktion beständig zum Widerspruch einladen.
Mathematik in der zweiten Klasse ist nichts anderes.

Mathematisieren

Was die grundlegende Mathematik macht, jene, die Kinder in der ersten und zweiten Klasse lernen, ist keineswegs so einfach und so unbedeutend, wie man dies meint sagen zu können. Wenn man komplexe Texte liest, tut man gut daran, sich an geometrische Anordnungen zu erinnern; man findet in der philosophischen Literatur, zum Beispiel in Schopenhauers Die Welt als Wille und Vorstellung, geometrische Deutungen von Begriffsordnungen, die genau so aussehen wie geometrische Aufgaben aus den ersten beiden Klassen der Grundschule.
Tatsächlich ist die Mathematik nicht so einfach, wie man dies, sobald man sie gut gelernt hat, glauben mag. Was Grundschüler hier leisten, ist enorm. Und dass Grundschüler dies leisten müssen, damit später ihre Fähigkeiten, die höhere Mathematik zu verstehen und anzuwenden, nicht durch ein fehlendes Fundament beeinträchtigt wird, zeigt auch, wie wichtig diese ersten Jahre des mathematischen Modellierens sind. Viel wichtiger ist allerdings, dass diese Reduktionen in zahlreiche andere Bereiche hinein spielen, einfach, weil sie Ordnungen schaffen.
Von diesen Ordnungen aus, die ja durchaus kritisierenswert sind, kann man dann die eigenen Anschauungen überprüfen und zu komplexeren Ordnungen übergehen.
Die Kunst des Mathematisierens besteht einfach darin, dass man die Mathematik nicht als ein starres System von Regeln betrachtet, sondern als einen strukturierenden, gelegentlich aber auch widerspenstigen Teil des Erkenntnisprozesses.

Mathematisches Modellieren

besteht also aus
  1. einer isolierten Wirklichkeit,
  2. der Vereinfachung,
  3. der Anwendung von Mathematik (der arithmetischen oder der geometrischen Logik),
  4. und einer Entsprechung (einer Analogiebildung, die, wie meine Leser wissen, eher in den Bereich der Kreativität und des Humors gehört).
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